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TEOREMA DIROLLE

 

Enunciato:Data una funzione f(x) continua nell'intervallo (a; b) aperto e derivabilenei punti interni di detto intervallo. Diremo che se la funzione nel punto aè uguale alla funzione nel punto b ovverof(a)=f(b) allora esisterà un punto x₀ interno all'intervallo [a; b]tale che f '(x₀)=0

Dimostrazionealgebrica : Per dimostrare il teorema di Rolledobbiamo applicare ilteorema di Weirstrass (Una funzione continua e derivabile in [a; b] ammettepunti di minimo e massimo assoluto). Prendiamo in esame x₁ come puntodi minimo e x₂ come punto di massimo in modo che f(x₁)£f(x)£f(x₂)perogni x appartenente a [a; b].Sipossono verificare 2 casi

1)Uno dei due punti x₁ o x₂  è interno all'intervallo(a; b) => applicando il teorema di Fermat la derivata prima in tal punto èuguale a zero f '(x₀)=0

2)x₁ e x₂ entrambi non interni  ad esempio x₁=a e x₂=b => Se f(a)=f(b) allora f(a)£f(x)£f(b)  => f(x)=f(a)ovvero che la funzione è costante e quindi la derivata primadi una funzione costante è in qualsiasi punto uguale a zero  f '(x₀)=0